الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط
مقدمةعنالأعدادالمركبة
الأعدادالمركبة(الأعدادالعقدية)هيأعدادرياضيةتمثلامتدادًاللأعدادالحقيقية،وتتكونمنجزأين:جزءحقيقيوجزءتخيلي.تُكتبالأعدادالمركبةعادةًبالصيغةالتالية:الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط
a+bi
حيث:
-aهوالجزءالحقيقي
-bهوالجزءالتخيلي
-iهيالوحدةالتخيلية،حيثi²=-1
لماذانستخدمالأعدادالمركبة؟
ظهرتالحاجةإلىالأعدادالمركبةلحلالمعادلاتالتيليسلهاحلفيمجموعةالأعدادالحقيقية،مثلالمعادلة:
x²+1=0
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسطحيثلايوجدعددحقيقييُمكنأنيكونحلاًلهذهالمعادلة،لأنمربعأيعددحقيقييكوندائمًاموجبًا.لكنباستخدامالوحدةالتخيليةi،يصبحالحل:
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسطx=±i
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسطالعملياتالأساسيةعلىالأعدادالمركبة
1.الجمعوالطرح
لجمعأوطرحعددينمركبين،نجمعأونطرحالأجزاءالحقيقيةوالتخيليةبشكلمنفصل:
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i
2.الضرب
لضربعددينمركبين،نستخدمخاصيةالتوزيعونأخذفيالاعتبارأنi²=-1:
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط(a+bi)×(c+di)=ac+adi+bci+bdi²=(ac-bd)+(ad+bc)i
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط3.القسمة
لقسمةعددينمركبين،نضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقاملإزالةالوحدةالتخيليةمنالمقام:
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط(a+bi)/(c+di)=[(a+bi)(c-di)]/(c²+d²)
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسطالتمثيلالهندسيللأعدادالمركبة
يمكنتمثيلالعددالمركبa+biكنقطةفيالمستوىالإحداثي،حيث:
-المحورالأفقييمثلالجزءالحقيقي(a)
-المحورالرأسييمثلالجزءالتخيلي(b)
هذاالتمثيليُعرفباسممستوىالأعدادالمركبةأومستوىأرغاند.
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسطالقيمةالمطلقةوالزاوية
لكلعددمركبa+bi،يمكنحساب:
-القيمةالمطلقة(المقياس):|z|=√(a²+b²)
-الزاوية(الطور):θ=arctan(b/a)
ويمكنالتعبيرعنالعددالمركبباستخدامالصيغةالقطبية:
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسطz=r(cosθ+isinθ)
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسطحيثrهيالقيمةالمطلقةوθهيالزاوية.
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسطتطبيقاتالأعدادالمركبة
تستخدمالأعدادالمركبةفيالعديدمنالمجالات،مثل:
-الهندسةالكهربائية:تحليلالدوائرالكهربائية
-الفيزياء:دراسةالموجاتوالاهتزازات
-الرسوماتالحاسوبية:تحويلاتفورييه
-الاقتصاد:نمذجةالتغيراتالدورية
الخاتمة
الأعدادالمركبةهيأداةرياضيةقويةتُستخدمفيالعديدمنالتطبيقاتالعلميةوالهندسية.علىالرغممنأنهاقدتبدومعقدةفيالبداية،إلاأنفهمأساسياتهايُمكنأنيفتحأبوابًاجديدةلفهمالرياضياتوالعلومبشكلأعمق.
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسطمقدمةعنالأعدادالمركبة
الأعدادالمركبة(الأعدادالعقدية)هيأعدادرياضيةتمثلامتدادًاللأعدادالحقيقية،حيثتتكونمنجزءحقيقيوجزءتخيلي.تُكتبالأعدادالمركبةعادةًبالصيغة:
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط[z=a+bi]
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسطحيث:
-aهوالجزءالحقيقي
-bهوالجزءالتخيلي
-iهيالوحدةالتخيلية،وتُعرفبأنهاالجذرالتربيعيللعدد-1(أي(i^2=-1))
أهميةالأعدادالمركبة
تلعبالأعدادالمركبةدورًاحيويًافيالعديدمنالمجالاتمثل:
-الهندسةالكهربائية:تُستخدمفيتحليلالدوائرالكهربائيةوالموجاتالكهرومغناطيسية.
-الفيزياء:تساعدفيحلالمعادلاتالتفاضليةوتمثيلالظواهرالموجية.
-علومالحاسوب:تُستخدمفيمعالجةالإشاراتالرقميةوالرسوماتالحاسوبية.
العملياتالأساسيةعلىالأعدادالمركبة
1.الجمعوالطرح
لجمعأوطرحعددينمركبين،نجمعأونطرحالأجزاءالحقيقيةوالتخيليةبشكلمنفصل:
[(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i]
2.الضرب
يتمضربالأعدادالمركبةباستخدامخاصيةالتوزيعمعالأخذفيالاعتبارأن(i^2=-1):
[(a+bi)\cdot(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i]
3.القسمة
للقسمة،نضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقاملإزالةالجزءالتخيليمنالمقام:
[\frac{ a+bi}{ c+di}=\frac{ (a+bi)(c-di)}{ c^2+d^2}]
التمثيلالهندسيللأعدادالمركبة
يمكنتمثيلالعددالمركب(z=a+bi)كنقطةفيالمستوىالإحداثي(يُسمىالمستوىالمركب)،حيث:
-المحورالأفقييمثلالجزءالحقيقي.
-المحورالرأسييمثلالجزءالتخيلي.
كمايمكنالتعبيرعنالعددالمركبباستخدامالصيغةالقطبية:
[z=r(\cos\theta+i\sin\theta)]
حيث:
-rهوالمقدار(المعيار)ويُحسببـ(r=\sqrt{ a^2+b^2}).
-θهيالزاوية(الطور)وتُحسببـ(\theta=\arctan\left(\frac{ b}{ a}\right)).
خاتمة
الأعدادالمركبةأداةرياضيةقويةتُستخدمفيالعديدمنالتطبيقاتالعلميةوالهندسية.فهمهايتطلبإدراكالعلاقةبينالأجزاءالحقيقيةوالتخيلية،بالإضافةإلىإتقانالعملياتالأساسيةعليها.بدراسةالأعدادالمركبة،يمكنحلمسائلمعقدةفيالفيزياءوالهندسةبطرقأكثركفاءة.
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط